5. Даны точки A(1;-1;3), B(3;-1;1) и C(-1;1;3). Вычислите угол между векторами AB и CB.

Сначала найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(2;0;-2)\), \(\overrightarrow{CB}=B-C=(4;-2;-2)\).

Используем формулу \(\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{CB}|}\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=2\cdot4+0\cdot(-2)+(-2)\cdot(-2)=12\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}\), \(|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-2)^2}=2\sqrt{6}\).

Тогда \(\cos\varphi=\frac{12}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(\varphi=30^\circ\).

Ответ: 30°.