3. Докажите, что в равнобокой трапеции квадрат диагонали равен сумме квадрата боковой стороны и произведения оснований.

Пусть основания равнобокой трапеции равны a и b, боковая сторона — c, а высота — h. Опустим перпендикуляры с концов меньшего основания на большее.

1. Из равнобокости следует, что боковые стороны имеют одинаковые проекции на большее основание. Поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \((a-b)/2\) (если \(a\ge b\)).
2. По теореме Пифагора для боковой стороны: \(c^2=h^2+(a-b)^2/4\).
3. Горизонтальная проекция диагонали равна \((a+b)/2\). Поэтому для диагонали d: \(d^2=h^2+(a+b)^2/4\).
4. Вычитая первое равенство из второго, получаем \(d^2-c^2=((a+b)^2-(a-b)^2)/4=ab\).

Следовательно, \(d^2=c^2+ab\), что и требовалось доказать.