5. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и AHB, равны.

Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R. Обозначим угол при вершине C через \(C\).

1. По теореме синусов \(AB=2R\sin C\).
2. Поскольку \(AH\perp BC\) и \(BH\perp AC\), угол между высотами равен дополнительному к углу C: \(\angle AHB=180°-C\) (при тупом угле рассматривается соответствующий угол треугольника AHB; его синус также равен \(\sin C\)).
3. Радиус описанной окружности треугольника AHB, по теореме синусов, равен \(R_{AHB}=AB/(2\sin\angle AHB)=2R\sin C/(2\sin C)=R\).

Следовательно, радиусы описанных окружностей треугольников ABC и AHB равны.