4. Стороны треугольника равны 2 см и 4 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведённой окружности, если угол между данными сторонами равен 60°.

Пусть данные стороны образуют угол A и имеют длины 2 см и 4 см. Обозначим третью сторону через a, а центр вписанной окружности — через I.

1. По теореме косинусов: \(a^2=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cos60°=12\), следовательно, \(a=2\sqrt3\) см.
2. Угол между отрезками от центра вписанной окружности к концам стороны, противоположной углу A, равен \(90°+A/2=120°\).
3. Радиус окружности, проходящей через эти два конца стороны и точку I, равен радиусу описанной окружности треугольника с углом 120° и противолежащей стороной \(2\sqrt3\): \(R=2\sqrt3/(2\sin120°)=2\) см.

Ответ: 2 см.