3. Докажите двумя способами, что квадратный трёхчлен −x² + 3x − 4 принимает отрицательные значения при любых значениях переменной x.

Первый способ — выделение полного квадрата.

\(-x^2+3x-4=-(x-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{4}\).

Квадрат неотрицателен, поэтому \(-(x-\frac{3}{2})^2\leq 0\), а значит всё выражение не больше \(-\frac{7}{4}<0\).

Второй способ — дискриминант.

Для трёхчлена коэффициент при \(x^2\) равен −1, а дискриминант \(D=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)=9-16=-7<0\). Корней нет. Поскольку коэффициент при старшем члене отрицателен, парабола целиком расположена ниже оси x; следовательно, трёхчлен отрицателен при любом x.