3. Докажите, используя определение (аналитически), что функция y = 6x − x² − 10 убывает на промежутке [3; +∞).

Возьмём любые \(x_1\) и \(x_2\) из промежутка \([3;+)\), где \(x_1<x_2\). Рассмотрим разность значений функции:

\(f(x_2)-f(x_1)=(6x_2-x_2^2-10)-(6x_1-x_1^2-10)\).

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители: \(f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(6-x_1-x_2)\).

Так как \(x_2-x_1>0\), а \(x_1\ge3\) и \(x_2>x_1\), то \(x_1+x_2>6\). Следовательно, \(6-x_1-x_2<0\), поэтому \(f(x_2)-f(x_1)<0\), то есть \(f(x_2)<f(x_1)\).

Значит, функция строго убывает на \([3;+)\).