5. Найдите без построения графика функции y = 2x² − 6x + 1: а) координаты точек пересечения её графика с осями координат; б) наибольшее и наименьшее значения функции; в) ОЗФ; г) координаты точек пересечения её графика с прямой y = 3 − 3x.

а) Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\) получаем \(y=1\), точка \((0;1)\). Для пересечений с осью \(Ox\) полагаем \(y=0\): \(2x^2-6x+1=0\). По формуле корней \(x=\frac{6\pm\sqrt{36-8}}{4}=\frac{3\pm\sqrt7}{2}\). Точки: \(\left(\frac{3-\sqrt7}{2};0\right)\) и \(\left(\frac{3+\sqrt7}{2};0\right)\).

б) Выделим квадрат: \(y=2(x-\frac32)^2-\frac72\). Поскольку коэффициент при квадрате положительный, функция имеет наименьшее значение \(-\frac72\) при \(x=\frac32\), а наибольшего значения на всей числовой прямой не имеет.

в) Область значений: \(\left[-\frac72;+\right)\).

г) На пересечении с прямой значения \(y\) равны, поэтому \(2x^2-6x+1=3-3x\). Получаем \(2x^2-3x-2=0=(2x+1)(x-2)\), откуда \(x=-\frac12\) или \(x=2\). Подставляя в \(y=3-3x\), находим соответственно \(y=\frac92\) и \(y=-3\). Точки пересечения: \(\left(-\frac12;\frac92\right)\) и \((2;-3)\).