3. Докажите тождество: $\left(\dfrac{x^2-49}{x^2-14x+49}\right)^4:\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^3=\dfrac{x+7}{x-7}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\left(\dfrac{x^2-49}{x^2-14x+49}\right)^4:\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^3=\dfrac{x+7}{x-7}$.$ Фото задания

3. Докажите тождество: $\left(\dfrac{x^2-49}{x^2-14x+49}\right)^4:\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^3=\dfrac{x+7}{x-7}$.

Accepted Answer

Учитываем область допустимых значений: знаменатели не равны нулю, а делитель — ненулевая дробь. Поэтому $x\ne7$ и $x\ne-7$.

Разложим выражения на множители:

$\left(\dfrac{x^2-49}{x^2-14x+49}\right)^4:\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^3=\left(\dfrac{(x-7)(x+7)}{(x-7)^2}\right)^4:\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^3$.

Сократим первую дробь и заменим деление умножением на обратную дробь:

$=\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^4\cdot\left(\dfrac{x-7}{x+7}\right)^3=\dfrac{x+7}{x-7}$.

Получили правую часть равенства, следовательно, тождество доказано при $x\ne\pm7$.

3. Докажите тождество: \(\left(\dfrac{x^2-49}{x^2-14x+49}\right)^4:\left(\dfrac{x+7}{x-7}\right)^3=\dfrac{x+7}{x-7}\).

Ответ: