3 (ФИПИ). Найдите значения выражений: 1) 8 ctg α, если cos α = √5/5 и α ∈ (0; π/2); 2) 37 sin 110°/(sin 55° sin 35°); 3) √27 − 6√3 sin²(25π/12); 4) [4 cos(−2π − β) + sin(3π/2 + β)]/[2 cos(β + π)].

1. Так как α находится в первой четверти, sin α = √(1 − cos² α) = √(1 − 1/5) = 2√5/5. Тогда ctg α = cos α/sin α = 1/2, поэтому 8 ctg α = 4.

2. Используем sin 110° = sin 70° = 2 sin 35° cos 35° и sin 55° = cos 35°:

   37 sin 110°/(sin 55° sin 35°) = 37 · 2 sin 35° cos 35°/(cos 35° sin 35°) = 74.

3. sin(25π/12) = sin(π/12) = sin 15°, поэтому sin²(25π/12) = (2 − √3)/4.

   √27 − 6√3 · (2 − √3)/4 = 3√3 − (3√3/2)(2 − √3) = 9/2.

4. При cos β ≠ 0:

   cos(−2π − β) = cos β, sin(3π/2 + β) = −cos β, cos(β + π) = −cos β.

   Следовательно, выражение равно (4 cos β − cos β)/(−2 cos β) = −3/2.

Ответ: 1) 4; 2) 74; 3) 9/2; 4) −3/2.