4. Упростите выражения: 1) (1/(tg α sin α))⁻² − tg² α; 2) cos(π/6 + α) cos(π/6 − α) − cos² α + 1/2; 3) (cos 5α + cos 3α)/(1 − 2 sin² 2α).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

(1/(tg α sin α))⁻² − tg² α = tg² α sin² α − tg² α = tg² α(sin² α − 1) = −tg² α cos² α = −sin² α.
По формуле произведения косинусов: cos(π/6 + α)cos(π/6 − α) = (cos 2α + cos(π/3))/2 = cos 2α/2 + 1/4.
Тогда выражение равно cos 2α/2 + 1/4 − (1 + cos 2α)/2 + 1/2 = 1/4.
cos 5α + cos 3α = 2 cos 4α cos α, а 1 − 2 sin² 2α = cos 4α. Поэтому дробь сокращается до 2 cos α при cos 4α ≠ 0.

Ответ: 1) −sin² α; 2) 1/4; 3) 2 cos α.