5. Докажите тождество: cos 3α = 4 cos³ α − 3 cos α.

По формуле косинуса суммы:

cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α.

Подставим формулы двойного угла: cos 2α = cos² α − sin² α, sin 2α = 2 sin α cos α.

cos 3α = (cos² α − sin² α)cos α − 2 sin² α cos α = cos³ α − 3 sin² α cos α.

Используя sin² α = 1 − cos² α, получаем cos 3α = cos³ α − 3(1 − cos² α)cos α = 4 cos³ α − 3 cos α. Тождество доказано.