3) $\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)-\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{2b}{a+b}=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) $\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)-\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{2b}{a+b}=1$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $a+b\ne0$ и $a^2-b^2\ne0$, то есть $a\ne\pm b$.

Разложим разность квадратов и сумму кубов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)=\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)}.$

Объединим слагаемые, приведя к знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a^2-ab+b^2-ab+2b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}.$

Это выражение равно $\frac{a-b}{a+b}$, а не всегда равно 1. Следовательно, указанное равенство в общем случае неверно.

Ответ: левая часть упрощается до $\frac{a-b}{a+b}$; равенство с 1 верно только при $b=0$ (в пределах ОДЗ).

3) \(\frac{a^3+b^3}{a+b}:(a^2-b^2)-\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{2b}{a+b}=1\).