3. Исследуйте функцию h(x)=(x+2)/(x²+1) с помощью производной: найдите область определения; вычислите производную; определите критические точки; укажите промежутки монотонности и экстремумы.

Область определения: знаменатель \(x^2+1\) всегда положителен, поэтому \(D(h)=(-∞;+∞)\).

Производная:

\[h'(x)=\frac{(x^2+1)-2x(x+2)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}.\]

Критические точки определяются из уравнения:

\(-x^2-4x+1=0\), откуда \(x=-2-\sqrt5\) и \(x=-2+\sqrt5\).

Так как знаменатель производной положителен, знак производной определяется числителем:

• функция убывает на \((-∞;-2-\sqrt5)\) и \((-2+\sqrt5;+∞)\);
• функция возрастает на \((-2-\sqrt5;-2+\sqrt5)\).

Следовательно, при \(x=-2-\sqrt5\) функция имеет минимум, а при \(x=-2+\sqrt5\) — максимум.

Значения экстремумов:

\[h(-2-\sqrt5)=1-\frac{\sqrt5}{2},\qquad h(-2+\sqrt5)=1+\frac{\sqrt5}{2}.\]

Ответ: минимум в точке \((-2-\sqrt5;\,1-\frac{\sqrt5}{2})\), максимум в точке \((-2+\sqrt5;\,1+\frac{\sqrt5}{2})\).