4. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости функции y=−x⁴+6x²−5.

Найдём вторую производную:

\(y'=-4x^3+12x\),

\(y''=-12x^2+12=12(1-x^2)\).

Точки возможного перегиба:

\(y''=0\Rightarrow 1-x^2=0\Rightarrow x=\pm1\).

Найдём соответствующие значения функции:

\(y(-1)=y(1)=-1+6-5=0\).

Знак второй производной:

• \(y''>0\) на \((-1;1)\), поэтому график выпуклый вниз или вогнутый вверх;
• \(y''<0\) на \((-∞;-1)\) и \((1;+∞)\), поэтому график вогнутый вниз.

Ответ: точки перегиба \((-1;0)\) и \((1;0)\). Функция выпукла на \((-1;1)\), вогнута на \((-∞;-1)\) и \((1;+∞)\).