3. Исследуйте функцию на возрастание и убывание: y = x² - 4x y = x²/2 - 3x

Привет! Давай исследуем эти функции.

Функция 1: $$y = x^2 - 4x$$

1. Находим производную:

$$y' = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$$.

2. Находим точки, в которых производная равна нулю:

$$2x - 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2$$.

3. Определяем интервалы возрастания и убывания:

Разделим числовую прямую точкой $$x = 2$$.

• При $$x < 2$$, например $$x = 0$$: $$y'(0) = 2(0) - 4 = -4$$. Так как $$y' < 0$$, функция убывает.
• При $$x > 2$$, например $$x = 3$$: $$y'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$$. Так как $$y' > 0$$, функция возрастает.

Вывод: Функция $$y = x^2 - 4x$$ убывает на интервале $$(-\infty, 2)$$ и возрастает на интервале $$(2, +\infty)$$.

Функция 2: $$y = \frac{x^2}{2} - 3x$$

1. Находим производную:

$$y' = \left(\frac{x^2}{2} - 3x\right)' = \frac{1}{2} \times 2x - 3 = x - 3$$.

2. Находим точки, в которых производная равна нулю:

$$x - 3 = 0 \rightarrow x = 3$$.

3. Определяем интервалы возрастания и убывания:

Разделим числовую прямую точкой $$x = 3$$.

• При $$x < 3$$, например $$x = 0$$: $$y'(0) = 0 - 3 = -3$$. Так как $$y' < 0$$, функция убывает.
• При $$x > 3$$, например $$x = 4$$: $$y'(4) = 4 - 3 = 1$$. Так как $$y' > 0$$, функция возрастает.

Вывод: Функция $$y = \frac{x^2}{2} - 3x$$ убывает на интервале $$(-\infty, 3)$$ и возрастает на интервале $$(3, +\infty)$$.