5. Вычислите интеграл! ∫ from 1 to 2 of (5x²+4x+10) dx ∫ from -1 to 1 of (2x³+4x-20) dx

Привет! Сейчас посчитаем эти интегралы.

1. Вычислим интеграл $$\int_{1}^{2} (5x^2 + 4x + 10) dx$$

1. Находим первообразную:

$$F(x) = \int (5x^2 + 4x + 10) dx = 5\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 10x = \frac{5x^3}{3} + 2x^2 + 10x$$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$$F(2) - F(1) = \left(\frac{5(2)^3}{3} + 2(2)^2 + 10(2)\right) - \left(\frac{5(1)^3}{3} + 2(1)^2 + 10(1)\right)$$

$$= \left(\frac{5 \times 8}{3} + 2 \times 4 + 20\right) - \left(\frac{5}{3} + 2 + 10\right)$$

$$= \left(\frac{40}{3} + 8 + 20\right) - \left(\frac{5}{3} + 12\right)$$

$$= \left(\frac{40}{3} + 28\right) - \left(\frac{5}{3} + 12\right)$$

$$= \frac{40}{3} + 28 - \frac{5}{3} - 12$$

$$= \frac{35}{3} + 16 = \frac{35}{3} + \frac{48}{3} = \frac{83}{3}$$.

2. Вычислим интеграл $$\int_{-1}^{1} (2x^3 + 4x - 20) dx$$

1. Находим первообразную:

$$F(x) = \int (2x^3 + 4x - 20) dx = 2\frac{x^4}{4} + 4\frac{x^2}{2} - 20x = \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 20x$$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$$F(1) - F(-1) = \left(\frac{1^4}{2} + 2(1)^2 - 20(1)\right) - \left(\frac{(-1)^4}{2} + 2(-1)^2 - 20(-1)\right)$$

$$= \left(\frac{1}{2} + 2 - 20\right) - \left(\frac{1}{2} + 2 + 20\right)$$

$$= \left(\frac{1}{2} - 18\right) - \left(\frac{1}{2} + 22\right)$$

$$= \frac{1}{2} - 18 - \frac{1}{2} - 22 = -18 - 22 = -40$$.

Ответ:

1. $$\frac{83}{3}$$

2. $$-40$$