4. Найдите для f(x) первообразную, график которой проходит ч/з точку. a) y=x^4, M(2,1) б) y=4x²+20, M(3;2)

Привет! Давай найдем первообразные для этих функций.

a) $$f(x) = x^4$$, точка $$M(2, 1)$$

1. Находим первообразную $$F(x)$$ для $$f(x) = x^4$$:

Используем правило интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.

$$F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$$.

2. Находим константу $$C$$ по точке $$M(2, 1)$$:

Подставляем координаты точки $$(2, 1)$$ в уравнение первообразной:

$$1 = \frac{2^5}{5} + C$$

$$1 = \frac{32}{5} + C$$

$$C = 1 - \frac{32}{5} = \frac{5}{5} - \frac{32}{5} = -\frac{27}{5}$$.

3. Записываем уравнение первообразной:

$$F(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{27}{5}$$.

б) $$f(x) = 4x^2 + 20$$, точка $$M(3, 2)$$

1. Находим первообразную $$F(x)$$ для $$f(x) = 4x^2 + 20$$:

Интегрируем по частям:

$$F(x) = \int (4x^2 + 20) dx = 4 \int x^2 dx + \int 20 dx = 4 \frac{x^3}{3} + 20x + C = \frac{4x^3}{3} + 20x + C$$.

2. Находим константу $$C$$ по точке $$M(3, 2)$$:

Подставляем координаты точки $$(3, 2)$$ в уравнение первообразной:

$$2 = \frac{4(3)^3}{3} + 20(3) + C$$

$$2 = \frac{4 \times 27}{3} + 60 + C$$

$$2 = 4 \times 9 + 60 + C$$

$$2 = 36 + 60 + C$$

$$2 = 96 + C$$

$$C = 2 - 96 = -94$$.

3. Записываем уравнение первообразной:

$$F(x) = \frac{4x^3}{3} + 20x - 94$$.

Ответ:

a) $$F(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{27}{5}$$

б) $$F(x) = \frac{4x^3}{3} + 20x - 94$$