3. Из точек B и Д проведены перпендикуляры на плоскость β. AC = 4 см, AB = 7 см, ДС = 3 см. Найдите ВД.

Точки A и C — основания перпендикуляров на плоскости β, поэтому проекция отрезка ВД равна AC = 4 см. В условии не указано, по одну или по разные стороны от плоскости находятся B и Д, поэтому возможны два случая.

1. Если B и Д находятся по одну сторону плоскости, разность их расстояний до плоскости равна \(7-3=4\) см. Тогда \(ВД=\sqrt{AC^2+(AB-ДС)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\) см.
2. Если B и Д находятся по разные стороны плоскости, расстояние между ними по перпендикулярному направлению равно \(7+3=10\) см. Тогда \(ВД=\sqrt{AC^2+(AB+ДС)^2}=\sqrt{4^2+10^2}=2\sqrt{29}\) см.

Ответ: \(4\sqrt{2}\) см, если точки по одну сторону плоскости; \(2\sqrt{29}\) см, если по разные стороны.