3. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 42°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательные А и В пересекаются под углом 42°.

Найти:

• \[ \angle ABO \]

Решение:

1. Пусть точки касания касательных к окружности будут A и B. Точка пересечения касательных — P. Тогда \[ \angle APB = 42^{\circ} \].
2. Рассмотрим четырехугольник PAOB.
3. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому \[ \angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ} \].
4. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
5. \[ \angle AOB + \angle PAO + \angle APB + \angle PBO = 360^{\circ} \]
6. \[ \angle AOB + 90^{\circ} + 42^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]
7. \[ \angle AOB + 222^{\circ} = 360^{\circ} \]
8. \[ \angle AOB = 360^{\circ} - 222^{\circ} = 138^{\circ} \]
9. Треугольник AOB — равнобедренный, так как OA = OB (радиусы окружности).
10. \[ OA = OB \]
11. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[ \angle OAB = \angle OBA \].
12. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
13. \[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \]
14. \[ \angle OBA + \angle OBA + 138^{\circ} = 180^{\circ} \]
15. \[ 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 138^{\circ} \]
16. \[ 2 \cdot \angle OBA = 42^{\circ} \]
17. \[ \angle OBA = \frac{42^{\circ}}{2} = 21^{\circ} \]

Ответ: 21