4. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна \(a\). Тогда \(OC = OD = \frac{a}{2}\) и \(AD = BC = a\).

Точка O — середина стороны CD. Радиус окружности с центром в O, проходящей через вершину A, равен \(R = OA = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. По теореме Пифагора:

\(OA^2 = OD^2 + AD^2\)

\(\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2\)

\(\frac{5}{4} = \frac{a^2}{4} + a^2\)

Умножим обе части уравнения на 4:

\(5 = a^2 + 4a^2\)

\(5 = 5a^2\)

\(a^2 = 1\)

Площадь квадрата ABCD равна \(S = a^2\).

Ответ: 1.