3. Катеты прямоугольного треугольника равны √12 и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. На рисунке для EPF: S_EPF = 20, угол P = 30°, EP = PF. Найдите EP.

а) Стороны катетов: √12 = 2√3 и 2. Наименьший угол лежит напротив меньшего катета 2. Гипотенуза равна √((2√3)² + 2²) = √16 = 4. Следовательно, синус наименьшего угла равен 2/4 = 1/2.

б) По рисунку EP = PF, а угол P = 30°. Высота из E к PF делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника и угол P пополам, поэтому половина угла P равна 15°. Если боковая сторона равна x, площадь равна (x² sin 30°)/2 = x²/4. Тогда x²/4 = 20, откуда x² = 80 и x = 4√5.

Ответ: а) 1/2; б) EP = 4√5.