3. Может ли сумма углов выпуклого многоугольника равняться 1000°? Обоснуйте ответ (проверьте, получится ли целое число сторон).

Для многоугольника с числом сторон n сумма углов равна \(S=(n-2)\cdot180^\circ\). Найдём число сторон:

\(n=\frac{1000^\circ}{180^\circ}+2=\frac{50}{9}+2=\frac{68}{9}=7\frac{5}{9}\).

Число сторон должно быть целым, а \(7\frac{5}{9}\) — не целое число. Следовательно, такого выпуклого многоугольника не существует.

Ответ: нет, не может.