3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠ABM = ∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \). По условию \( AB = BC \), и \( \angle BAC = \angle BCA \).

Дано: \( \angle ABM = \angle CBK \).

Из равенства углов следует:

• \( \angle ABM = \angle ABC - \angle MBC \)
• \( \angle CBK = \angle ABC - \angle ABK \)

Так как \( \angle ABM = \angle CBK \), то \( \angle ABC - \angle MBC = \angle ABC - \angle ABK \), откуда следует, что \( \angle MBC = \angle ABK \).

Рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( CBK \):

• \( AB = CB \) (по условию, так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).
• \( \angle BAM = \angle BCD \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle ABC \)).
• \( \angle ABM = \angle CBK \) (по условию).

По двум углам и стороне между ними (второй признак равенства треугольников) \( \triangle ABM = \triangle CBK \).

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны: \( AM = CK \).

Доказано.