3. На рисунке ABCD — трапеция, BC ∥ AD; диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По отметкам AO = OD. Доказать: AB = CD.

Пусть BC = c, AD = d. Из подобия треугольников BOC и AOD, поскольку BC ∥ AD, получаем отношения диагоналей: AO/OC = d/c и BO/OD = c/d. Поэтому AO/OD = (d/c)·(BO/OD) = BO/OC.

По условию AO = OD, следовательно, из этих отношений следует BO = OC. Тогда AO = BO и OC = OD, а значит, диагонали AC и BD равны.

В трапеции с равными диагоналями боковые стороны равны: например, треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам: BC — общая, AC = BD, а углы при параллельных основаниях дают равенство соответствующих треугольников (эквивалентно, равенство диагоналей трапеции влечёт равенство её боковых сторон). Следовательно, AB = CD.

Ответ: AB = CD.