3. На рисунке изображён параллелограмм ABCD: AB = 8, AD = 12, внешний угол при D равен 45°. Найти диагонали BD = x и AC = y.

Решение предполагает, что ABCD — параллелограмм, как показано на рисунке. Поскольку внешний угол при D равен 45°, внутренний угол при D равен \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\). Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому \(\angle A=45^\circ\).

Для диагонали BD рассмотрим треугольник ABD и применим теорему косинусов:

\(x^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cdot\cos45^\circ=208-96\sqrt2\).

Значит, \(x=\sqrt{208-96\sqrt2}\).

У параллелограмма диагональ AC соответствует сумме векторов сторон AB и AD, угол между которыми равен 45°:

\(y^2=8^2+12^2+2\cdot8\cdot12\cdot\cos45^\circ=208+96\sqrt2\).

Значит, \(y=\sqrt{208+96\sqrt2}\).

Ответ: \(BD=\sqrt{208-96\sqrt2}\), \(AC=\sqrt{208+96\sqrt2}\).