9. В треугольнике ABC: AB = 13, BC = 15, AC = 14. BD ⟂ AC. Найти BD = x.

Обозначим \(AD=u\). Тогда \(DC=14-u\). По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABD и BCD:

\(u^2+x^2=13^2=169\),

\((14-u)^2+x^2=15^2=225\).

Вычтем первое равенство из второго: \((14-u)^2-u^2=56\).

Раскроем скобки: \(196-28u=56\), откуда \(u=5\).

Тогда \(x^2=169-5^2=144\), значит, \(x=12\).

Ответ: \(BD=12\).