5. На рисунке изображён параллелограмм ABCD: AB = 8, ∠CAD = 20°, ∠ACD = 40°. Найти диагонали BD = x и AC = y.

Решение предполагает, что ABCD — параллелограмм, как показано на рисунке. В треугольнике ACD третий угол равен \(180^\circ-20^\circ-40^\circ=120^\circ\). Кроме того, CD = AB = 8.

По теореме синусов в треугольнике ACD:

\(\dfrac{AC}{\sin120^\circ}=\dfrac{CD}{\sin20^\circ}\), поэтому \(y=AC=\dfrac{8\sin120^\circ}{\sin20^\circ}=\dfrac{4\sqrt3}{\sin20^\circ}\).

Также \(AD=\dfrac{8\sin40^\circ}{\sin20^\circ}\). Так как AB параллельна CD, угол между AB и AC равен \(40^\circ\); следовательно, \(\angle BAD=20^\circ+40^\circ=60^\circ\).

По теореме косинусов в треугольнике ABD:

\(x^2=8^2+AD^2-2\cdot8\cdot AD\cdot\cos60^\circ\).

Подставляя найденное AD, получаем \(x=\sqrt{64+\left(\dfrac{8\sin40^\circ}{\sin20^\circ}\right)^2-\dfrac{64\sin40^\circ}{\sin20^\circ}}\).

Ответ: \(AC=\dfrac{4\sqrt3}{\sin20^\circ}\), \(BD=\sqrt{64+\left(\dfrac{8\sin40^\circ}{\sin20^\circ}\right)^2-\dfrac{64\sin40^\circ}{\sin20^\circ}}\).