3. На рисунке прямая MN перпендикулярна прямой AB, AK = BK, ∠A = ∠B. Укажите верное утверждение. 1) ΔAKN – ΔBKM по трем сторонам. 2) ΔAKN – ΔBKM по двум сторонам и углу между ними. 3) ΔAKN – ΔBKM по стороне и прилежащим к ней углам.

Question

Вопрос:

Фото задания

3. На рисунке прямая MN перпендикулярна прямой AB, AK = BK, ∠A = ∠B. Укажите верное утверждение. 1) ΔAKN – ΔBKM по трем сторонам. 2) ΔAKN – ΔBKM по двум сторонам и углу между ними. 3) ΔAKN – ΔBKM по стороне и прилежащим к ней углам.

Accepted Answer

Задание 3

Разберем условие задачи:

Прямая MN перпендикулярна прямой AB. Это значит, что углы ∠AKN и ∠BKM равны 90 градусов, если точка K лежит на MN. Однако, из рисунка видно, что MN пересекает AB, и K - точка пересечения. Угол между MN и AB не указан, но если MN перпендикулярна AB, то в точке пересечения образуются прямые углы. Предположим, что K - точка пересечения MN и AB, и MN ⊥ AB.
AK = BK (по условию).
∠A = ∠B (по условию).

Рассмотрим треугольники ΔAKN и ΔBKM. Нам даны:

Сторона AK = BK.
Угол ∠A = ∠B.

Чтобы применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), нам нужен равный угол между этими сторонами, то есть ∠AKN = ∠BKM. Из рисунка видно, что эти углы вертикальные, следовательно, они равны. Значит, ΔAKN = ΔBKM по второму признаку (две стороны и угол между ними).

Чтобы применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), нам нужно равенство стороны и двух прилежащих к ней углов. У нас есть сторона AK = BK и угол ∠A = ∠B. Нам нужен еще один равный угол, например, ∠ANK = ∠BMK. Если MN ⊥ AB, то ∠AKN = ∠BKM = 90°. В этом случае в треугольниках AKN и BKM мы имеем: AK = BK, ∠A = ∠B, ∠AKN = ∠BKM. Это равенство по стороне и двум прилежащим углам (второй случай второго признака).

Рассмотрим варианты:

По трем сторонам — не подходит, так как даны углы.
По двум сторонам и углу между ними — это был бы первый признак, если бы углы ∠AKN и ∠BKM были даны как равные, или если бы мы могли доказать их равенство (например, вертикальные углы).
По стороне и прилежащим к ней углам — это второй признак (или третий по счету, в зависимости от нумерации). У нас есть сторона AK = BK и прилежащие углы ∠A = ∠B. Также мы можем доказать равенство углов ∠ANK = ∠BMK (если K - точка пересечения MN и AB). Или, если MN ⊥ AB, то ∠AKN = ∠BKM. В любом случае, этот признак подходит.

Если MN ⊥ AB, то ∠AKN = ∠BKM = 90°. В этом случае у нас есть:

AK = BK (дано)
∠AKN = ∠BKM (вертикальные или по условию перпендикулярности)
∠A = ∠B (дано)

Это случай равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак).

Ответ: 3