Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Треугольник ACD равнобедренный с основанием AD. Точки М и К середины сторон АС и CD соответственно, точка О лежит на…Фото задания

Ответ:

Задание 5

Дано:

  • ΔACD — равнобедренный с основанием AD.
  • M — середина AC.
  • K — середина CD.
  • O — точка на AD.
  • ∠AMO = ∠DKO.
  • ∠ACD = 44°.

Найти: ∠OCD и ∠COD.

Решение:

  1. Так как ΔACD равнобедренный с основанием AD, то углы при основании равны: ∠CAD = ∠CDA.
  2. Сумма углов в ΔACD равна 180°, поэтому: ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°.
  3. 2∠CAD + 44° = 180°
  4. 2∠CAD = 180° - 44° = 136°
  5. ∠CAD = ∠CDA = 136° / 2 = 68°.
  6. M — середина AC, значит AM = MC = AC/2.
  7. K — середина CD, значит CK = KD = CD/2.
  8. В равнобедренном треугольнике ACD, AC = CD (боковые стороны).
  9. Следовательно, AM = MC = CK = KD.
  10. Рассмотрим треугольники ΔAMO и ΔDKO.
  11. У нас есть:
    • AM = KD (равные половины равных сторон).
    • ∠MAO = ∠KDO = 68° (углы при основании равнобедренного треугольника).
    • ∠AMO = ∠DKO (дано).
  12. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), ΔAMO = ΔDKO.
  13. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:
    • AO = DO. Это значит, что точка O — середина основания AD.
    • MO = KO.
    • ∠AOM = ∠DOK.
  14. Так как O — середина AD, то AO = DO.
  15. Рассмотрим треугольник ΔACD. M — середина AC, K — середина CD. Отрезок MK соединяет середины двух сторон треугольника, следовательно, MK параллелен основанию AD и MK = AD/2.
  16. Рассмотрим треугольник ΔMKD. Поскольку O — середина AD, и AO=DO, а также MK || AD, то точка O также является серединой MK, если рассматривать ее в контексте средней линии.
  17. Рассмотрим треугольник ΔACO.
  18. В треугольнике ΔACD, AC = CD. M — середина AC, K — середина CD.
  19. Рассмотрим треугольник ΔOMK. MO = KO (из равенства ΔAMO и ΔDKO). Значит, ΔOMK — равнобедренный.
  20. У нас есть AO = DO.
  21. Рассмотрим треугольники ΔMOC и ΔKOC.
  22. MC = CK (из равенства половин боковых сторон).
  23. MO = KO (из равенства ΔAMO и ΔDKO).
  24. OC — общая сторона.
  25. Следовательно, ΔMOC = ΔKOC по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
  26. Из равенства этих треугольников следует, что ∠MCO = ∠KCO.
  27. Так как ∠ACD = 44°, то ∠MCO = ∠KCO = 44° / 2 = 22°.
  28. ∠OCD = ∠KCO = 22°.
  29. Теперь найдем ∠COD.
  30. В треугольнике ΔDKO: ∠DKO = 180° - ∠KDO - ∠AOM (если ∠AOM = ∠DOK, то ∠AOD = 180°, что невозможно).
  31. Из равенства ΔAMO = ΔDKO, мы знаем ∠AOM = ∠DOK.
  32. Углы ∠AOM и ∠DOK — вертикальные. Нет, они не вертикальные.
  33. ∠AOM и ∠MOK и ∠KOD — смежные углы, образующие развернутый угол ∠AOD.
  34. ∠AOD = 180°.
  35. ∠AOM + ∠MOK + ∠KOD = 180°.
  36. Так как ∠AOM = ∠DOK, то 2∠AOM + ∠MOK = 180°.
  37. В ΔMOC = ΔKOC, ∠MCO = ∠KCO = 22°.
  38. В ΔDKO: ∠DKO.
  39. В ΔACD, ∠CDA = 68°.
  40. В ΔDKO, ∠KDO = 68°.
  41. ∠DKO + ∠DOK + ∠KDO = 180° (сумма углов в ΔDKO).
  42. ∠DKO + ∠DOK + 68° = 180°.
  43. ∠DKO + ∠DOK = 112°.
  44. У нас есть ∠AMO = ∠DKO.
  45. В ΔAMO: ∠AMO + ∠MAO + ∠AOM = 180°.
  46. ∠AMO + 68° + ∠AOM = 180°.
  47. ∠AMO + ∠AOM = 112°.
  48. Следовательно, ∠DKO + ∠DOK = 112° и ∠AMO + ∠AOM = 112°.
  49. Так как ∠AMO = ∠DKO, то из этих двух уравнений следует, что ∠AOM = ∠DOK.
  50. Пусть ∠AOM = ∠DOK = x.
  51. Тогда 2x + ∠MOK = 180°.
  52. В ΔDKO: ∠DKO + x = 112°.
  53. В ΔAMO: ∠AMO + x = 112°.
  54. Так как ∠AMO = ∠DKO, эти уравнения идентичны.
  55. Теперь найдем ∠COD.
  56. Рассмотрим ΔCDO.
  57. ∠CDO = 68°.
  58. ∠OCD = 22°.
  59. ∠COD = 180° - ∠CDO - ∠OCD = 180° - 68° - 22° = 180° - 90° = 90°.

Ответ: ∠OCD = 22°, ∠COD = 90°.