3. Найдите боковую поверхность конуса, осевое сечение которого равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковой стороной 6√3 см.

Решение:

Боковая поверхность конуса вычисляется по формуле \( S_{бок} = π r l \), где \( r \) — радиус основания, \( l \) — длина образующей.

Из условия известно, что образующая \( l = 6√3 \) см.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°. Разделим этот треугольник на два прямоугольных треугольника высотой конуса. В каждом из них угол при вершине будет \( 120^\circ / 2 = 60^\circ \).

В прямоугольном треугольнике радиус основания \( r \) является катетом, противолежащим углу \( 60^\circ \), а образующая \( l \) — гипотенузой.

Используем соотношение:

\[ ¯¯¯¯ = ¯¯¯ · ¯¯¯ \]

\[ r = l · ¯¯¯ = 6√3 · ¯¯¯ = 6√3 · ¯¯¯ = 18 \) см.

Теперь найдём боковую поверхность конуса:

\[ S_{бок} = π · 18 · 6√3 = 108π√3 \) см².

Ответ: 54π√3 см².