3. Найдите боковую поверхность конуса, осевое сечение которого равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковой стороной 6√3 см.

Решение:

Дано:

• Угол при вершине конуса \( \alpha = 120^{\circ} \).
• Боковая сторона (образующая) \( l = 6\sqrt{3} \) см.

Найти: Боковую поверхность конуса \( S_{бок} \).

Формула боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Угол при вершине равен \( 120^{\circ} \). Высота конуса делит этот угол пополам, образуя два прямоугольных треугольника с углами \( 60^{\circ} \) и \( 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном образующей \( l \), радиусом \( r \) и высотой \( h \):

• Угол между образующей и радиусом равен \( \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
• Радиус основания \( r = l \cos(30^{\circ}) \).

\[ r = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \) см.

Теперь вычислим боковую поверхность:

\[ S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 9 \text{ см} \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} = 54\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: в) 54π√3 см².