5. Найдите объем конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 3√2 см вокруг своего катета.

Решение:

При вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг своего катета образуется конус. Катет, вокруг которого происходит вращение, становится высотой конуса \( h \), а другой катет — радиусом основания конуса \( r \). Поскольку треугольник равнобедренный, \( r = h \).

Гипотенуза \( c = 3√2 \) см.

По теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника: \( a^2 + a^2 = c^2 \), где \( a \) — длина катета.

\[ 2a^2 = (3√2)^2 \]

\[ 2a^2 = 9 · 2 \]

\[ 2a^2 = 18 \]

\[ a^2 = 9 \]

\[ a = 3 \) см.

Таким образом, \( r = h = 3 \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = ¯¯¯ · S_{осн} · h \).

\[ V = ¯¯¯ · π r^2 · h \]

\[ V = ¯¯¯ · π · 3^2 · 3 \]

\[ V = ¯¯¯ · π · 9 · 3 \]

\[ V = 9π \) см³.

Ответ: 9π см³.