5. Найдите объем конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 3√2 см вокруг своего катета.

Решение:

Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет два равных катета. Пусть длина катета равна \( a \).

По теореме Пифагора: \( a^2 + a^2 = (3\sqrt{2})^2 \).

\[ 2a^2 = 9 \cdot 2 \]

\[ 2a^2 = 18 \]

\[ a^2 = 9 \]

\[ a = 3 \) см.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус. Высота конуса \( h \) равна этому катету, а радиус основания конуса \( r \) равен другому катету.

В данном случае, \( h = a = 3 \) см и \( r = a = 3 \) см.

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} \]

\[ V = 9\pi \text{ см}^3 \]

Ответ: б) 9 л см³.