3. Найдите экстремумы функции f(x) = x³-3x²-9x+5

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \).
3. Разделим на 3: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение (можно по теореме Виета или через дискриминант): \( (x-3)(x+1) = 0 \).
5. Критические точки: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
6. Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:
• При \( x < -1 \) (например, \( x=-2 \)): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -1 < x < 3 \) (например, \( x=0 \)): \( f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 3 \) (например, \( x=4 \)): \( f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
7. Точка \( x=-1 \) является точкой локального максимума, так как производная меняет знак с '+' на '-'.
8. Точка \( x=3 \) является точкой локального минимума, так как производная меняет знак с '-' на '+'.
9. Найдем значения функции в этих точках:
• Локальный максимум: \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3(1) + 9 + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 \).
• Локальный минимум: \( f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 3(9) - 27 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 \).

Ответ: Локальный максимум равен 10 (при \( x=-1 \)), локальный минимум равен -22 (при \( x=3 \)).