8. Найдите все первообразные для функции f(x) = 3/√x - x²/3 + 3cos x

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \), проинтегрируем \( f(x) \).

\( f(x) = 3x^{-1/2} - \frac{1}{3}x^2 + 3\cos{x} \)

\( F(x) = \int (3x^{-1/2} - \frac{1}{3}x^2 + 3\cos{x}) dx \)

\( F(x) = 3 \int x^{-1/2} dx - \frac{1}{3} \int x^2 dx + 3 \int \cos{x} dx \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 \sin{x} + C \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + 3\sin{x} + C \)

\( F(x) = 6x^{1/2} - \frac{x^3}{9} + 3\sin{x} + C \)

\( F(x) = 6\sqrt{x} - \frac{x^3}{9} + 3\sin{x} + C \), где \( C \) — константа интегрирования.

Ответ: \( F(x) = 6\sqrt{x} - \frac{x^3}{9} + 3\sin{x} + C \)