5. Решите неравенство log₀.₁ (5x-3) ≥ log₀.₁ (x+4)

Решение:

Данное неравенство содержит логарифмы с основанием \( 0.1 \). Так как основание \( 0 < 0.1 < 1 \), при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

• \( 5x - 3 > 0 \) ⇒ \( 5x > 3 \) ⇒ \( x > \frac{3}{5} \)
• \( x + 4 > 0 \) ⇒ \( x > -4 \)

Объединяя эти условия, получаем \( x > \frac{3}{5} \).

Теперь решим само неравенство, меняя знак:

\( 5x - 3 \le x + 4 \)

\( 5x - x \le 4 + 3 \)

\( 4x \le 7 \)

\( x \le \frac{7}{4} \).

Учитывая ОДЗ \( x > \frac{3}{5} \), получаем решение:

\( \frac{3}{5} < x \le \frac{7}{4} \).

Ответ: \( (\frac{3}{5}; \frac{7}{4}] \)