3) Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 192x + 11 на отрезке [-9;0].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^3 - 192x + 11 \) на отрезке \( [-9; 0] \) необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 - 192 \).
2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 192 = 0 \).
• \( 3x^2 = 192 \)
• \( x^2 = 64 \)
• \( x = \pm 8 \)
3. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку \( [-9; 0] \). Точка \( x = 8 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x = -8 \) принадлежит отрезку.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• При \( x = -9 \): \( y = (-9)^3 - 192(-9) + 11 = -729 + 1728 + 11 = 1010 \)
• При \( x = -8 \): \( y = (-8)^3 - 192(-8) + 11 = -512 + 1536 + 11 = 1035 \)
• При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 - 192(0) + 11 = 11 \)
5. Сравнить полученные значения. Наибольшее значение равно 1035.

Ответ: 1035