4) Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 108x + 19 на отрезке [-7;0].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^3 - 108x + 19 \) на отрезке \( [-7; 0] \) необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 - 108 \).
2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 108 = 0 \).
• \( 3x^2 = 108 \)
• \( x^2 = 36 \)
• \( x = \pm 6 \)
3. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку \( [-7; 0] \). Точка \( x = 6 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x = -6 \) принадлежит отрезку.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• При \( x = -7 \): \( y = (-7)^3 - 108(-7) + 19 = -343 + 756 + 19 = 432 \)
• При \( x = -6 \): \( y = (-6)^3 - 108(-6) + 19 = -216 + 648 + 19 = 451 \)
• При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 - 108(0) + 19 = 19 \)
5. Сравнить полученные значения. Наибольшее значение равно 451.

Ответ: 451