5) Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 147x + 11 на отрезке [-8;0].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^3 - 147x + 11 \) на отрезке \( [-8; 0] \) необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 - 147 \).
2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 147 = 0 \).
• \( 3x^2 = 147 \)
• \( x^2 = 49 \)
• \( x = \pm 7 \)
3. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку \( [-8; 0] \). Точка \( x = 7 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x = -7 \) принадлежит отрезку.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• При \( x = -8 \): \( y = (-8)^3 - 147(-8) + 11 = -512 + 1176 + 11 = 675 \)
• При \( x = -7 \): \( y = (-7)^3 - 147(-7) + 11 = -343 + 1029 + 11 = 697 \)
• При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 - 147(0) + 11 = 11 \)
5. Сравнить полученные значения. Наибольшее значение равно 697.

Ответ: 697