6) Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 3x + 14 на отрезке [-2;0].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^3 - 3x + 14 \) на отрезке \( [-2; 0] \) необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 - 3 \).
2. Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 3 = 0 \).
• \( 3x^2 = 3 \)
• \( x^2 = 1 \)
• \( x = \pm 1 \)
3. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку \( [-2; 0] \). Точка \( x = 1 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x = -1 \) принадлежит отрезку.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 - 3(-2) + 14 = -8 + 6 + 14 = 12 \)
• При \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 - 3(-1) + 14 = -1 + 3 + 14 = 16 \)
• При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 - 3(0) + 14 = 14 \)
5. Сравнить полученные значения. Наибольшее значение равно 16.

Ответ: 16