3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y = x³ – 4x² + 5x – 1.

Краткое пояснение:

Функция возрастает там, где ее производная положительна, и убывает там, где ее производная отрицательна.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции: $$y' = 3x^2 - 8x + 5$$.
2. Шаг 2: Находим точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить критические точки: $$3x^2 - 8x + 5 = 0$$.
3. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 imes 3 imes 5 = 64 - 60 = 4$$.
4. Шаг 4: Корни уравнения: $$x_1 = rac{8 - ext{sqrt}(4)}{2 imes 3} = rac{8 - 2}{6} = rac{6}{6} = 1$$, $$x_2 = rac{8 + ext{sqrt}(4)}{2 imes 3} = rac{8 + 2}{6} = rac{10}{6} = rac{5}{3}$$.
5. Шаг 5: Определяем знаки производной на интервалах $$(- ext{inf}, 1)$$, $$(1, 5/3)$$, $$(5/3, ext{inf})$$.
• На интервале $$(- ext{inf}, 1)$$, например при $$x=0$$: $$y' = 3(0)^2 - 8(0) + 5 = 5 > 0$$. Функция возрастает.
• На интервале $$(1, 5/3)$$, например при $$x=1.5$$: $$y' = 3(1.5)^2 - 8(1.5) + 5 = 3(2.25) - 12 + 5 = 6.75 - 12 + 5 = -0.25 < 0$$. Функция убывает.
• На интервале $$(5/3, ext{inf})$$, например при $$x=2$$: $$y' = 3(2)^2 - 8(2) + 5 = 3(4) - 16 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1 > 0$$. Функция возрастает.

Ответ: Промежутки возрастания: $$(- ext{inf}, 1) ext{ U } (5/3, ext{inf})$$. Промежутки убывания: $$(1, 5/3)$$.