4. Найдите точки максимума и минимума: $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$.

Краткое пояснение:

Экстремумы функции (точки максимума и минимума) находятся в критических точках, где производная равна нулю или не существует. Последующий анализ знака производной определяет тип экстремума.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.
2. Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$.
3. Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 imes 3 imes 1 = 16 - 12 = 4$$.
4. Шаг 4: Корни уравнения: $$x_1 = rac{4 - ext{sqrt}(4)}{2 imes 3} = rac{4 - 2}{6} = rac{2}{6} = rac{1}{3}$$, $$x_2 = rac{4 + ext{sqrt}(4)}{2 imes 3} = rac{4 + 2}{6} = rac{6}{6} = 1$$.
5. Шаг 5: Определим знаки производной на интервалах $$(- ext{inf}, 1/3)$$, $$(1/3, 1)$$, $$(1, ext{inf})$$.
• На интервале $$(- ext{inf}, 1/3)$$, например при $$x=0$$: $$f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0$$. Функция возрастает.
• На интервале $$(1/3, 1)$$, например при $$x=0.5$$: $$f'(0.5) = 3(0.5)^2 - 4(0.5) + 1 = 3(0.25) - 2 + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25 < 0$$. Функция убывает.
• На интервале $$(1, ext{inf})$$, например при $$x=2$$: $$f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 3(4) - 8 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$$. Функция возрастает.
6. Шаг 6: Определяем точки экстремума:
• В точке $$x = 1/3$$ производная меняет знак с '+' на '-', значит, это точка максимума. Найдем значение функции: $$f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + (1/3) + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = (1 - 6 + 9 + 81)/27 = 85/27$$.
• В точке $$x = 1$$ производная меняет знак с '-' на '+', значит, это точка минимума. Найдем значение функции: $$f(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$.

Ответ: Точка максимума: $$(1/3, 85/27)$$. Точка минимума: $$(1, 3)$$.