5. Составьте уравнение касательной к графику функции $$y = ext{sin}(3x - rac{2 ext{π}}{3})$$ в точке $$x = rac{ ext{π}}{3}$$.

Краткое пояснение:

Уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$ имеет вид $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$, где $$y_0 = f(x_0)$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем значение функции в точке $$x = rac{ ext{π}}{3}$$.
   $$y_0 = ext{sin}(3 imes rac{ ext{π}}{3} - rac{2 ext{π}}{3}) = ext{sin}( ext{π} - rac{2 ext{π}}{3}) = ext{sin}(rac{ ext{π}}{3}) = rac{ ext{sqrt}(3)}{2}$$.
2. Шаг 2: Найдем производную функции.
   $$y' = ( ext{sin}(3x - rac{2 ext{π}}{3}))' = ext{cos}(3x - rac{2 ext{π}}{3}) imes 3 = 3 ext{cos}(3x - rac{2 ext{π}}{3})$$.
3. Шаг 3: Найдем значение производной в точке $$x = rac{ ext{π}}{3}$$ (это угловой коэффициент касательной).
   $$y'(rac{ ext{π}}{3}) = 3 ext{cos}(3 imes rac{ ext{π}}{3} - rac{2 ext{π}}{3}) = 3 ext{cos}( ext{π} - rac{2 ext{π}}{3}) = 3 ext{cos}(rac{ ext{π}}{3}) = 3 imes rac{1}{2} = rac{3}{2}$$.
4. Шаг 4: Составим уравнение касательной, используя формулу $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$.
   $$y - rac{ ext{sqrt}(3)}{2} = rac{3}{2}(x - rac{ ext{π}}{3})$$.
5. Шаг 5: Упростим уравнение.
   $$y = rac{3}{2}x - rac{3}{2} imes rac{ ext{π}}{3} + rac{ ext{sqrt}(3)}{2}$$.
   $$y = rac{3}{2}x - rac{ ext{π}}{2} + rac{ ext{sqrt}(3)}{2}$$.

Ответ: Уравнение касательной: $$y = rac{3}{2}x - rac{ ext{π}}{2} + rac{ ext{sqrt}(3)}{2}$$.