3. Найдите точку максимума функции y = (24 − x)e^(x/24). Найдите наибольшее значение функции y = (22 − x)e^(x − 21) на отрезке [16; 25]. Найдите наибольшее значение функции y = (6 − x)e^(x − 5) на отрезке [0,5; 1,5]. Найдите наименьшее значение функции y = (3x² − 36x + 36)e^x на отрезке [8; 11].

1. Производная равна \(y'=e^{x/24}\left(-1+\frac{24-x}{24}\right)=-\frac{x}{24}e^{x/24}\). Она положительна при \(x<0\) и отрицательна при \(x>0\), поэтому точка максимума имеет абсциссу 0.

2. \(y'=e^{x-21}(21-x)\). Функция возрастает до \(x=21\) и убывает после него. Максимум на отрезке достигается при \(x=21\): \(y=1\cdot e^0=1\).

3. \(y'=e^{x-5}(1-x)\). На отрезке \([0,5;1,5]\) производная положительна, поэтому максимум достигается при \(x=1,5\): \(y=4,5e^{-3,5}\).

4. Пусть \(P(x)=3x^2-36x+36\). Тогда \(y'=e^x(P(x)+P'(x))=3xe^x(x-10)\). На отрезке функция убывает до 10 и возрастает после 10. Минимум: \(y(10)=-24e^{10}\).

Ответ: точка максимума — 0; наибольшие значения — 1 и \(4,5e^{-3,5}\); наименьшее значение — \(-24e^{10}\).