3. Найдите значение выражения $$\frac{2013}{2016} \cdot \left(\frac{75}{16} \cdot \frac{24}{35} - 2 \cdot \frac{9}{42}\right)$$

Решение:

Сначала вычислим выражение в скобках:

1. \(\frac{75}{16} \cdot \frac{24}{35} = \frac{75 \cdot 24}{16 \cdot 35} = \frac{(15 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 8)}{(2 \cdot 8) \cdot (7 \cdot 5)} = \frac{15 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{45}{14}\)
2. \(2 \cdot \frac{9}{42} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}\)
3. \(\frac{45}{14} - \frac{3}{7} = \frac{45}{14} - \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{45}{14} - \frac{6}{14} = \frac{39}{14}\)

Теперь умножим результат на $$\frac{2013}{2016}$$:

\(\frac{2013}{2016} \cdot \frac{39}{14}\)

Заметим, что 2013 = 3 \(\cdot\) 11 \(\cdot\) 61, 2016 = 32 \(\cdot\) 63 = 32 \(\cdot\) 7 \(\cdot\) 9. 39 = 3 \(\cdot\) 13. 14 = 2 \(\cdot\) 7.

\(\frac{2013}{2016} = \frac{3 \cdot 671}{3 \cdot 672} = \frac{671}{672}\)

\(\frac{671}{672} \cdot \frac{39}{14} = \frac{671 \cdot 39}{672 \cdot 14} = \frac{26169}{9408}\)

Можно заметить, что 2013 делится на 3 (сумма цифр 6), 2016 делится на 3 (сумма цифр 9). 39 делится на 3. 14 не делится на 3.

\(\frac{2013}{2016} = \frac{3 \cdot 671}{3 \cdot 672} = \frac{671}{672}\)

\(\frac{39}{14} = \frac{3 \cdot 13}{2 \cdot 7}\)

\(\frac{671}{672} \cdot \frac{39}{14} = \frac{671 \cdot 39}{672 \cdot 14}\)

Сократим 2013 и 2016 на 3: \(\frac{671}{672}\). Сократим 39 и 14? Нет. Сократим 39 и 672? 672 / 3 = 224. 39 / 3 = 13. \(\frac{671}{224} \cdot \frac{13}{14}\)

\(\frac{671 \cdot 13}{224 \cdot 14} = \frac{8723}{3136}\)

\(\frac{2013}{2016} \cdot \frac{39}{14} = \frac{2013 \cdot 39}{2016 \cdot 14} = \frac{78507}{28224}\)

Разделим числитель и знаменатель на 3: \(\frac{26169}{9408}\). Разделим на 3 еще раз: \(\frac{8723}{3136}\).

\(\frac{8723}{3136} = 2 \frac{2451}{3136}\)

Ответ: $$\frac{8723}{3136}$$.