3. Найдите значение выражения \(\frac{27b^2 + 108b + 108}{b} : \left(\frac{6}{b} + 3\right)\) при \(b = -\frac{4}{9}\).

Краткое пояснение:

Для решения этого примера сначала упростим алгебраическое выражение, а затем подставим значение b.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим выражение. Вынесем общий множитель из числителя первой дроби. В числителе 27b² + 108b + 108, общий множитель равен 27.
   \( 27b^2 + 108b + 108 = 27(b^2 + 4b + 4) \).
   Выражение в скобках является полным квадратом: \( b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2 \).
   Таким образом, числитель равен \( 27(b+2)^2 \).
2. Шаг 2: Преобразуем вторую часть выражения (делитель).
   \( \frac{6}{b} + 3 = \frac{6 + 3b}{b} \).
3. Шаг 3: Теперь запишем все выражение с упрощенными частями:
   \( \frac{27(b+2)^2}{b} : \frac{6 + 3b}{b} \).
4. Шаг 4: Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
   \( \frac{27(b+2)^2}{b} \cdot \frac{b}{6 + 3b} \).
5. Шаг 5: Сократим b:
   \( \frac{27(b+2)^2}{6 + 3b} \).
6. Шаг 6: Вынесем общий множитель 3 из знаменателя:
   \( \frac{27(b+2)^2}{3(2 + b)} \).
7. Шаг 7: Сократим 27 и 3, а также \( (b+2)^2 \) и \( (b+2) \).
   \( \frac{9(b+2)}{1} = 9(b+2) \).
8. Шаг 8: Теперь подставим значение \( b = -\frac{4}{9} \) в упрощенное выражение \( 9(b+2) \):
   \( 9\left(-\frac{4}{9} + 2\right) \).
9. Шаг 9: Выполним сложение в скобках:
   \( 2 = \frac{18}{9} \).
   \( -\frac{4}{9} + \frac{18}{9} = \frac{14}{9} \).
10. Шаг 10: Умножим результат на 9:
    \( 9 \cdot \frac{14}{9} = 14 \).

Ответ: 14