3. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что длины его сторон образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1

Решение:

Обозначим стороны прямоугольного треугольника как a, b и c, где c - гипотенуза. Пусть стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью d=1.

1. Обозначим стороны:

   Пусть меньший катет равен x. Тогда второй катет будет x + 1, а гипотенуза x + 2.

2. Применим теорему Пифагора:

   a² + b² = c²

   x² + (x + 1)² = (x + 2)²

3. Раскроем скобки:

   x² + (x² + 2x + 1) = (x² + 4x + 4)

4. Приведем подобные члены:

   2x² + 2x + 1 = x² + 4x + 4

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   2x² - x² + 2x - 4x + 1 - 4 = 0

   x² - 2x - 3 = 0

6. Решаем квадратное уравнение:

   Можно использовать дискриминант или разложить на множители. Разложим на множители:

   (x - 3)(x + 1) = 0

7. Найдем значения x:

   x - 3 = 0 => x = 3

   x + 1 = 0 => x = -1

8. Выберем подходящее значение x:

   Длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому x = 3.

9. Найдем стороны треугольника:

   Меньший катет: x = 3

   Второй катет: x + 1 = 3 + 1 = 4

   Гипотенуза: x + 2 = 3 + 2 = 5

Ответ: Гипотенуза равна 5.