5. Решить уравнение x²-2x-8 ——=0 √x+2

Решение:

Для решения данного уравнения, необходимо учесть ограничения на область допустимых значений (ОДЗ) и затем решить числитель, приравняв его к нулю.

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

   Знаменатель дроби не может быть равен нулю, и выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

   √x + 2 ≠ 0 => √x ≠ -2 (Это условие всегда выполняется, так как корень не может быть отрицательным).

   x + 2 ≥ 0 => x ≥ -2

2. Приравняем числитель к нулю:

   Чтобы дробь равнялась нулю, ее числитель должен равняться нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).

   x² - 2x - 8 = 0

3. Решаем квадратное уравнение x² - 2x - 8 = 0:

   Используем дискриминант: D = b² - 4ac

   D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

   √D = √36 = 6

4. Находим корни квадратного уравнения:

   x₁ = (-(-2) + 6) / (2 * 1) = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4

   x₂ = (-(-2) - 6) / (2 * 1) = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ (x ≥ -2):

   x₁ = 4: 4 ≥ -2. Этот корень подходит.

   x₂ = -2: -2 ≥ -2. Этот корень также подходит, так как знаменатель √(-2+2) = √0 = 0, что не допускается. В таком случае, при x = -2, знаменатель равен 0, поэтому это значение не является решением уравнения. Или, более строго, ОДЗ для знаменателя √x+2 должно быть x+2 > 0, тогда x > -2.

6. Пересмотрим ОДЗ с учетом того, что знаменатель не должен быть равен нулю:

   x + 2 > 0 => x > -2.

7. Проверяем корни по строгому ОДЗ (x > -2):

   x₁ = 4: 4 > -2. Подходит.

   x₂ = -2: -2 > -2. Не подходит, так как -2 не больше -2.

Ответ: Уравнение имеет один корень: x = 4.