3). В треугольнике ABC ∠B=110°, биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол АОС.

Решение:

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. \( ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ} \). \( ∠ A + 110^{\circ} + ∠ C = 180^{\circ} \). \( ∠ A + ∠ C = 70^{\circ} \).

AO — биссектриса \( ∠ A \), CO — биссектриса \( ∠ C \). Значит, \( ∠ OAC = ∠ A / 2 \) и \( ∠ OCA = ∠ C / 2 \).

Сумма углов в треугольнике AOC равна 180°. \( ∠ AOC + ∠ OAC + ∠ OCA = 180^{\circ} \).

\( ∠ AOC = 180^{\circ} - (∠ OAC + ∠ OCA) \).

\( ∠ AOC = 180^{\circ} - (∠ A / 2 + ∠ C / 2) \).

\( ∠ AOC = 180^{\circ} - \frac{∠ A + ∠ C}{2} \).

Так как \( ∠ A + ∠ C = 70^{\circ} \), то \( ∠ AOC = 180^{\circ} - \frac{70^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ} \).

Ответ: 145°.