3. Одно из двух натуральных чисел при делении на 13 дает остаток 7, а другое - остаток 2. Какой остаток получится при делении произведения этих чисел на 13?

3. Нахождение остатка от деления произведения чисел:

Пусть первое натуральное число — \( n_1 \), а второе — \( n_2 \).

По условию, при делении \( n_1 \) на 13 остаток равен 7. Это можно записать как:

\( n_1 = 13k_1 + 7 \), где \( k_1 \) — некоторое целое число.

При делении \( n_2 \) на 13 остаток равен 2. Это можно записать как:

\( n_2 = 13k_2 + 2 \), где \( k_2 \) — некоторое целое число.

Теперь найдём произведение этих чисел:

\( n_1 \cdot n_2 = (13k_1 + 7)(13k_2 + 2) \)

Раскроем скобки:

\( n_1 \cdot n_2 = 13k_1 \cdot 13k_2 + 13k_1 \cdot 2 + 7 \cdot 13k_2 + 7 \cdot 2 \)

\( = 169k_1k_2 + 26k_1 + 91k_2 + 14 \)

Вынесем общий множитель 13 из первых трёх слагаемых:

\( = 13(13k_1k_2 + 2k_1 + 7k_2) + 14 \)

Пусть \( K = 13k_1k_2 + 2k_1 + 7k_2 \). Тогда выражение примет вид:

\( n_1 \cdot n_2 = 13K + 14 \)

Теперь посмотрим на остаток от деления \( 14 \) на \( 13 \):

\( 14 = 13 \cdot 1 + 1 \)

Подставим это в наше выражение:

\( n_1 \cdot n_2 = 13K + 13 \cdot 1 + 1 \)

\( = 13(K + 1) + 1 \)

Таким образом, при делении произведения этих чисел на 13 остаток равен 1.

Ответ: 1.