5. При каком значении переменной р многочлен, тождественно равный произведению (х -p)(x² + x - x - 1): а) имеет коэффициент при х³, равный -1; б) имеет коэффициент при х², равный нулю?

5. Нахождение значения переменной p:

Дано произведение многочленов \( (x - p)(x^2 + x - x - 1) \).

Сначала упростим второй множитель: \( x^2 + x - x - 1 = x^2 - 1 \).

Теперь найдём произведение упрощённых многочленов:

\( (x - p)(x^2 - 1) \)

Раскроем скобки:

\( x \cdot x^2 + x \cdot (-1) - p \cdot x^2 - p \cdot (-1) \)

\( = x^3 - x - px^2 + p \)

Перепишем многочлен в стандартном виде по убыванию степеней \( x \):

\( x^3 - px^2 - x + p \)

Теперь рассмотрим условия:

1. a) Многочлен имеет коэффициент при \( x^3 \) равный -1.

В полученном многочлене \( x^3 - px^2 - x + p \) коэффициент при \( x^3 \) равен 1. Условие, что коэффициент при \( x^3 \) равен -1, не может быть выполнено для данного произведения, если \( x \) — это переменная.

2. б) Многочлен имеет коэффициент при \( x^2 \) равный нулю.

В полученном многочлене \( x^3 - px^2 - x + p \) коэффициент при \( x^2 \) равен \( -p \).

Приравниваем его к нулю:

\( -p = 0 \)

\( p = 0 \)

Ответ: а) Условие невыполнимо; б) $$p = 0$$.