3. Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Решение:

1. Связь стороны треугольника и радиуса описанной окружности:

   Радиус описанной окружности (R) для правильного треугольника со стороной 'a' находится по формуле:

   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

2. Подставляем сторону a = 18 см:

   \[ R = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Связь радиуса описанной окружности и стороны квадрата:

   Диагональ квадрата (d) равна диаметру описанной окружности (2R). Сторона квадрата (b) связана с диагональю формулой:

   \[ d = b\sqrt{2} \]

   Следовательно,

   \[ 2R = b\sqrt{2} \implies b = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \]

4. Подставляем найденный радиус:

   \[ b = 6\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{6} \text{ см} \]

Ответ: 6√6 см